Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是________cm²．

Answer 1

分析：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，由以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，根据旋转的性质得∠KPH=90°，∠KGH=90°，得∠MPN=90°，易证Rt△PCM≌Rt△PFN，得到PM=PN，则四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，由PM∥AB，PM：AB=CP：CB，得到，于是．
解答：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，如图，
∵以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，
∴∠KPH=90°，∠KGH=90°，
∴∠MPN=90°，
∴∠KPN=∠MPH，
∵PC=PF，∠C=∠F，
∴Rt△PCM≌Rt△PFN，
∴PM=PN，
∴四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，
∴S_重叠部分=S_{正方形PMGN}，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10，
而PB=6，则PC=4，
又∵PM∥AB，
∴PM：AB=CP：CB，
∴，
∴（cm²）．
故答案为．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质．