Question

【题目】在平行四边形中，，，是上的一个动点，由向运动（与、不重合），速度为每秒，是延长线上一点，与点以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），连结交AB于．

（1）如图1，若，，求点P运动几秒后，.

（2）在（1）的条件下，作于F，在运动过程中，线段长度是否发生变化，如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由.

（3）如图3，当时，平行四边形的面积是，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2秒；（2）EF的长度不会发生变化，且其长度为3；（3）存在，a=5.

【解析】

（1）设cm，则cm，先据题意推得△ABC是等边三角形，得，进一步可得，再利用30°角的直角三角形的性质得出关于x的方程，解方程即得结果；

（2）如图2，过点P作PH∥BC交AB于点H，易知△APH是等边三角形，先利用AAS证得△PEH≌△QEB，从而HE=BE，再在△APH中根据等边三角形的性质得出AF=FH，于是可得EF与AB的数量关系，问题即得解决；

（3）假设存在某一时刻，使P，Q关于点E中心对称，即PE=QE，作PG∥BC交AB于点G，如图3，先利用AAS证明△PEG≌△QEB，从而得PG=AP，进一步可利用推出AC=BC，再作CM⊥AB于点M，则由等腰三角形的性质可求得BM的长，然后根据平行四边形的面积求出CM的长，再根据勾股定理即可求出a的值.

解：（1）设cm，则cm，如图1，

∵，，∴△ABC是等边三角形，∴.

∵，∴，

∴，即，解得，即．

∴点P运动2秒后，.

（2）如图2，过点P作PH∥BC交AB于点H，则∠HPE=∠BQE，

∵△ABC是等边三角形，∴△APH是等边三角形，∴AP=PH，

∵AP=BQ，∴PH=BQ，又∵∠PEH=∠QEB，∴△PEH≌△QEB（AAS），∴HE=BE.

∵△APH是等边三角形，PF⊥AH，∴AF=FH，

∴EF=EH+FH=，

∴EF的长度不会发生变化，且其长度为3.

（3）假设存在某一时刻，使P，Q关于点E中心对称，即PE=QE，

作PG∥BC交AB于点G，如图3，则∠PGE=∠EBQ，

又∵∠PEG=∠BEQ，PE=QE，

∴△PEG≌△QEB（AAS），

∴PG=QB，∴PG=AP.

∵△APG∽△ACB，∴，∴AC=BC.

作CM⊥AB于点M，则BM=AM=3cm，

∵，，∴CM=4cm，

在Rt△BCM中，根据勾股定理，得；

∴BC=5cm，即a=5.