Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．
求证：BD=CD．

Answer 1

证明：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中
，
∴△CED≌△CFD，
∴CF=CE=AC=BC，
∴CF=BF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDF，
∴BD=CD．
分析：可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，由角平分线到角两边的距离相等可得DF=DE，进而的△CED≌△CFD，由对应边又可得Rt△CDF≌Rt△BDF，进而可得出结论．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练运用其性质进行解题．