Question

如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

（1）
（2）解析:
解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．   1分
  在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4． …………………………3分
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．    5分
∴S阴影==． 6分
法二：连结AD．                 1分
∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD．    ……………………2分

∴AB=AD，BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．       ……………………3分
∵BF=AB=2，sin60°=，
AF=AB·sin60°=4×=6．
∴OB2=BF2+OF2．即．
∴OB=4．               5分
∴S阴影=S圆=．      6分
法三：连结BC．………………………………………………………………………………1分
∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°．
∵AB=4，
∴．       ……………………3分
∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，
∴∠BOD=120°．
∴S阴影=π·OA2=×42·π=．……………………6分
以下同法一．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．  
∴．         10分