Question

如图，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S₁，S₂，S₃，设BP=x．
（1）试用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃；
（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．

Answer 1

解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，
则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，
则；
这样S₁=2x，S₃=，
S₂=12-2x-=；

（2）S₂===，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．
分析：（1）△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，则即可求出用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃；
（2）对S₂=利用配方法即可求出△APD的面积最大值；
点评：本题考查了二次函数的最值及三角形的面积，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．