题目内容

边长为4的等边三角形的面积为________．

4 $\text{[math]}$
分析：根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD的长度，根据BC和AD即可求得三角形的面积．
解答：

解：∵等边三角形三线合一，
∴D为BC的中点，BD=DC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
∴AD= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴等边△ABC的面积为 $\text{[math]}$ BC•AD= $\text{[math]}$ ×4×2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ．
故答案为 4 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理即可AD的长度是解题的关键．

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已知：如图，边长为2

的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在

上运动，但与A、C两点不

重合，连接AD并延长交BC的延长结于P．
（1）求⊙O的半径；
（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值；若不存在，请说明理由．

27、阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”．
例如：如图2，

边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”．
操作：如图3，

如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数
k=

时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k=

时，第一次出现△PQR的“三角形回归”．
猜想：
我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正n（n＞3）边形的边连续转动，
（1）连续转动的次数k=

时，第一次出现P的“点回归”；
（2）连续转动的次数k=

时，第一次出现△PQR的“三角形回归”；
（3）第一次同时出现P的“点回归”与△PQR的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k与正多边形的边数n之间的关系．

（2012•普陀区一模）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．
（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；
（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；
（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．

如图所示，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限，将△OAB绕O点顺时针旋转30°后，恰好A点在双曲线y=

（x＞0）上．
（1）求双曲线y=

（x＞0）的解析式；
（2）等边三角形OAB继续按顺时针方向旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？

阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”。
例如：如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB……连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”。
操作：如图3，如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k=（    ）时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k=（    ）时，第一次出现△PQR的“三角形回归”。
猜想：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正n（n＞3）边形的边连续转动，
（1）连续转动的次数k=（    ）时，第一次出现P的“点回归”；
（2）连续转动的次数k=（    ）时，第一次出现△PQR的“三角形回归”；
（3）第一次同时出现P的“点回归”与△PQR的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k与正多边形的边数n之间的关系。