Question

已知，Rt△ABC中的两个直角边a，b分别是关于x的方程x²-

2

x+k=0的两个实数根，且sinA+sinB=

2

，求k值及∠A的大小．

Answer 1

分析：根据勾股定理将sinA+sinB=

2

转化为关于a，b的方程，在用根与系数的关系转化为关于k的方程，求出k的值并检验，由根的判别式知两直角边a=b，得出∠A的大小．

解答：解：由题意知a+b=

2

，ab=k．
∵sinA+sinB=

2

．
∴

a

c

+

b

c

=

2

，

a+b

a2+b2

=

2

．
∴

a+b

(a+b)2-ab

=

2

( 2 )2-2k

=

2

．
解得k=

1

2

．
代入原方程得x²-.

2

x+

1

2

=0．
∵△=2-2=0．
∴a=b=

2

2

．
所以∠A=45°．

点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．
（3）在Rt△ABC中，若∠C=90°，则sinA=

a

c

，a²+b²=c²．