题目内容

8．如图，抛物线F：y=ax2+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t（t＞0）个单位得到直线L2．设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连结AC、BC．
（1）当a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=1，t=2时，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值；（用含a的式子表示）
（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，连结A′C，BD，若四边形A′CDB的面积为2$\sqrt{3}$，求a的值．

分析 （1）先写出抛物线解析式，再计算自变量为0时的函数值得到C点坐标，再计算函数值为3所对应的自变量的值得到点A、B的坐标分别为A点和B点坐标，接着利用两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形；
（2）根据题意得∠ACB=90°，设点B的坐标为（m，c+t），把B点坐标代入抛物线解析式得到t=am2+bm，抛物线的对称轴交AB于E点，连结CE，如图，则点E的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，c+t），根据直角三角形斜边上的中线性质得到$\sqrt{（-\frac{b}{2a}）^{2}+{t}^{2}}$=m+$\frac{b}{2a}$，变形得到at2=am2+bm，于是有at2=t，然后解关于t的方程即可；
（3）直线AB交y轴于点F，CD交对称轴于G点，如图，先证明四边形A′CDB是平行四边形，再判断四边形A′CDB是菱形，接着判断△A′CD为等边三角形，得到∠A′CG=60°，然后在Rt△A′CG中利用三角函数的定义可计算出A′C=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，则CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，则利用菱形的面积公式得到方程t•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t=2$\sqrt{3}$，然后解方程求出t，再利用（2）的结论求出a即可．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+1，
∵当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+1=1，
∴C（0，1），
∵L1向上平移2个单位得到直线L2，
∴A、B的纵坐标为3，
当y=3时，$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+1=3，解得x1=-1，x2=4，
∴点A、B的坐标分别为A（-1，3）、B（4，3），
∴AB=4-（-1）=5，AC=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（4-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC为直角三角形，
而∠ABC和∠BAC不可能为直角，
∴∠ACB=90°，
设点B的坐标为（m，c+t），
∴c+t=am2+bm+c，即t=am2+bm，
抛物线的对称轴交AB于E点，连结CE，如图，点E的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，c+t），
∵△ABC为直角三角形，
∴EC=EB，即$\sqrt{（-\frac{b}{2a}）^{2}+{t}^{2}}$=m+$\frac{b}{2a}$，
∴t2=m2+$\frac{b}{a}$m，即at2=am2+bm，
∴at2=t，解得t1=0，t2=$\frac{1}{a}$，
即t的值为$\frac{1}{a}$；
（3）直线AB交y轴于点F，CD交对称轴于G点，如图，
依题意，点A'与点E重合，
∵A'在抛物线F的对称轴上，A与A'关于y轴对称，
∴AA′=2FA′，
∴BA′=2FA′，
∵CD=2CG，
而CG=FA′，
∴BA′=CD，
∴∵CD∥x轴，
∴四边形A′CDB是平行四边形，
∵CA′=BA′，
∴四边形A′CDB是菱形，
∴A′C=CD，
而A′C=A′D，
∴△A′CD为等边三角形，
∴∠A′CG=60°，
在Rt△A′CG中，∴sin∠A′CG=$\frac{A′G}{A′C}$，
∴A′C=$\frac{t}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∵四边形A′CDB的面积为2$\sqrt{3}$，
∴t•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t=2$\sqrt{3}$，解得t=$\sqrt{3}$，
而t=$\frac{1}{a}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、一次函数的几何变换和等边三角形的判定与性质；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会运用勾股定理的逆定理证明直角三角形．

练习册系列答案
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（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在图中求一点G，使以G、A、E、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；
（3）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；
（4）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．
20．【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“$\sqrt{（\;\;\;\;）}$”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后在x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果xn，怎样变化．

（1）若k=2，b=-4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=-$\frac{2}{3}$，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
17．阅读材料，回答问题：

小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=$\sqrt{3}$，AB=c=2，那么$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2．
通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含
30°角的直角三角形中，存在着$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．的关系．”
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
请判断此时“$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．”的关系是否成立？
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．
过点C作CD⊥AB于D．
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=$\frac{CD}{b}$，sinB=$\frac{CD}{a}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{ab}{CD}$，$\frac{b}{sinB}$=$\frac{ab}{CD}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．．
请将上面的过程补充完整．
（3）如图4，在△ABC中，如果∠B=60°，∠C=45°，AB=2，那么AC=$\sqrt{6}$．
18．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

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