Question

抛物线的对称轴x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A，C的坐标分别是（-1，0），（0，1.5）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；
（3）在（2）中当△ABP的面积取最大值时，此抛物线位于x轴下方是否存在一点Q，使△ABQ与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）只需运用待定系数法就可求出抛物线的函数关系式；
（2）易得点B的坐标为（3，0），设点P（m，n），则n=-

1

2

m²+m+

3

2

，从而得到S_△ABP与m的函数关系式，然后只需运用配方法即可求出S_△ABP的最大值；
（3）根据△ABQ与△ABP的面积相等可求出点Q的纵坐标，然后代入抛物线的解析式就可求出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵点A（-1，0）、B关于对称轴x=1，
∴点B（3，0），
∴抛物线的函数关系式可设为y=a（x+1）（x-3），
∵点C（0，1.5）在抛物线y=a（x+1）（x-3）上，
∴-3a=1.5，
解得：a=-

1

2

，
∴抛物线的函数关系式为y=-

1

2

（x+1）（x-3）=-

1

2

x²+x+

3

2

；

（2）设点P（m，n），则n=-

1

2

m²+m+

3

2

．
∵点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，
∴S_△ABP=

1

2

（3+1）（-

1

2

m²+m+

3

2

）
=-m²+2m+3
=-（m-1）²+4
∴当m=1时，S_△ABP取到最大值为4，
∴△ABP面积的最大值为4；

（3）∵点Q是抛物线位于x轴下方一点，
∴S_△ABQ=

1

2

（3+1）×（-y_Q）=-2y_Q．
∵S_△ABQ=S_△ABP=4，
∴-2y_Q=4，
∴y_Q=-2，
∴-

1

2

x_Q²+x_Q+

3

2

=-2，
整理得：x_Q²-2x_Q-7=0，
解得：x_Q=1+2

2

或x_Q=1-2

2

，
∴点Q的坐标为（1+2

2

，-2）或（1-2

2

，-2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，运用配方法是解决第（2）小题的关键．