Question

12．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S_△ABP=4S_△COE，求P点坐标．
注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；
（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；
（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．

解答 解：（1）由点A（-1，0）和点B（3，0）得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），
S_△COE=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$，S_△ABP=$\frac{1}{2}$×4y=2y，
∵S_△ABP=4S_△COE，∴2y=4×$\frac{3}{2}$，
∴y=3，∴-x²+2x+3=3，
解得：x₁=0（不合题意，舍去），x₂=2，
∴P（2，3）．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S_△ABP=4S_△COE列出方程是解决问题的关键．