Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

x-

3

与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²-

2 3

3

x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC²+BC²=AB²，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

x-

3

与x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，-

3

）
∵点A，C都在抛物线上，
∴

0=a+ 2 3 3 +c - 3 =c

∴

a= 3 3 c=- 3

∴抛物线的解析式为y=

3

3

x²-

2

3

3

x-

3

∴顶点F（1，-

4

3

3

）．

（2）存在：
p₁（0，-

3

），p₂（2，-

3

）．

（3）存在
理由：
解法一：
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=

3

3

x²-

2

3

3

x-

3

上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=

3

3

∴∠OBC=30°，BC=2

3

在Rt△B′BH中，B′H=

1

2

BB′=2

3

BH=

3

B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2

3

）．
设直线B′F的解析式为y=kx+b，
∴

-2 3 =-3k+b - 4 3 3 =k+b

，
解得

k= 3 6 b=- 3 3 2

，
∴y=

3

6

x-

3 3

2

．

y=- 3 x- 3 y= 3 6 x- 3 3 2

，
解得

x= 3 7 y=- 10 3 7

，
∴M（

3

7

，-

10 3

7

）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（

3

7

，-

10 3

7

）．
解法二：
过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M
即为所求．
过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=

3

3

∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=

3

3

∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形
∴AC垂直平分FH
即点H为点F关于AC对称点，
∴H（0，-

-5 3

3

）
设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得，

0=3k+b b=- 5 3 3

，
解得

k= 5 3 9 b=- 5 3 3

，
∴y=

5

9

3

x-

5

3

3

，

y= 5 9 3 x- 5 3 3 y=- 3 x- 3

，
解得

x= 3 7 y=- 10 3 7

，
∴M（

3

7

，-

10 3

7

），
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（

3

7

，-

10 3

7

）．

点评：考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．