题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+9交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为一边在其右侧作矩形ABCD，AB=2BC．
（1）求点D的坐标；
（2）作∠AOB的平分线交CD边于E，点P从点O出发，以3 $数学公式$ 个单位每秒的速度向终点E运动，过点P作x轴的平行线，交边AB于点M，交矩形另一边于点N，连接EM、EN，点P运动时间为t秒，△EMN的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CM、CN，当t为何值时，CM=CN．

解：（1）如图1，过点D作DK⊥x轴于K，易证△AOB∽△ADK，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵AB=2BC，BC=AD
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
OA=2DK，OB=2AK
∵直线y=-3x+9交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，9），OA=3，OB=9．
∴DK= $\text{[math]}$ ，AK= $\text{[math]}$ ，∴OK= $\text{[math]}$ ，∴D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）∵AB∥DC，直线AB的解析式为y=-3x+9

∴设直线CD的解析式为：y=-3x+b，
∵直线CD经过点D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =-3× $\text{[math]}$ +b，
∴b=24，
∴直线CD的解析式为：y=-3x+24．
∵OE与直线CD交于点E；
∴E（6，6）．
①如图2：过点E作EQ⊥MN于点Q．M在AB上，N在AD上时，此时0＜t≤ $\text{[math]}$ ，S= $\text{[math]}$ MN•EQ= $\text{[math]}$ ×10t×（6-3t）=-15t²+30t

②如图3：过点E作EQ⊥MN于点Q．M在AB上，N在CD上时，此时 $\text{[math]}$ ＜t＜2，S= $\text{[math]}$ MN•EQ= $\text{[math]}$ ×5×（6-3t）=- $\text{[math]}$ t+15

（3）①如图4：M在AB上N在AD上时，在Rt△BCM中，可求：BC= $\text{[math]}$ ，
BM=3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
在Rt△CND中，可求：DC=3 $\text{[math]}$ ，
DN= $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ t，
∴根据勾股定理，得
CM²=CN²，即 $\text{[math]}$ +（3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）²=（3 $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ t）²，
可解t₁=0，t₂= $\text{[math]}$
∵0＜t≤ $\text{[math]}$ ，∴t= $\text{[math]}$ ．

②如图5：M在AB上，N在CD上时，

此时CM=CN．
在Rt△BCM中，可求：BC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
BM=3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
可求CT= $\text{[math]}$ -3t，TN= $\text{[math]}$ MN= $\text{[math]}$ ，
tan∠TCN=tan∠OBA= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴t=1．
综上所述：t= $\text{[math]}$ 或t=1时，CM=CN．

分析：（1）如图1，过点D作DK⊥x轴于K，构建相似三角形：△AOB∽△ADK；利用相似三角形对应边成比例的性质求得相似比是 $\text{[math]}$ ，然后由图形与坐标的性质来求点D的坐标；
（2）需要分类讨论：①如图2：M在AB上，N在AD上；②如图3：M在AB上，N在CD上；
（3）需要分类讨论：①如图4：M在AB上，N在AD上；②如图5：M在AB上，N在CD上．
点评：本题考查了一次函数的综合运用以及三角形的面积计算等知识，重点考查考生利用数形结合解题的能力．