Question

（2006•常德）如图，在直角坐标系中，已知点A（，0），B（-，0），以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据A（，0），B（-，0）可求圆半径是2，连接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D两点坐标代入抛物线y=x²+bx+c，可求抛物线解析式，将B点坐标代入解析式进行检验即可；
（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=，代入直线CD的解析式即可求P；
（3）∵BC=4，Q点横坐标是，M在Q点左边，则M点横坐标为-4=-3，代入抛物线解析式可求M点坐标．
解答：解：（1）∵OA=，AB=AC=2，
∴B（-，0），C（3，0），连接AD，
在Rt△AOD中，AD=2，OA=，
∴OD==3，
∴D的坐标为（0，-3），（3分）
又∵D，C两点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x²-x-3，（5分）
当x=-时，y=0，
∴点B（-，0）在抛物线上，（6分）

（2）∵y=x²-x-3，
=（x-）²-4，
∴抛物线y=x²-x-3的对称轴方程为x=，（7分）
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由，
得，
∴直线DC的解析式为y=x-3．
由，
得，
故点P的坐标为．（9分）

（3）存在，设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4，
从而x_m=-3，t=12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（-3，12）或（5，12）或（，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）
点评：本题考查了点的坐标及二次函数解析式的求法，要求会在坐标系中求线段和最小的问题以及探求平行四边形的条件．