Question

8．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方抛物线上一个动点，过P作PE⊥x轴交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=$\frac{9}{2}$时，在抛物线的对称轴上找一点G，使PG+GB最小，求点G的坐标；
（3）若E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求抛物线解析式；
（2）先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=2，再利用二次函数图象上点的坐标特征求出P（$\frac{9}{2}$，$\frac{11}{4}$），如图1，由于点A与点B关于直线x=2对称，连结PA交直线x=2于点G，则PG+BG=GA+GP=AP，根据两点之间线段最短得到此时PG+GB最小，接着利用待定系数法求出直线PA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，然后计算自变量为2的函数值即可得到点G的坐标；
（3）如图2，根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，-x²+4x+5），E（x，-$\frac{3}{4}$x+3），则可计算出PE=|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|，接着求出C（0，3），于是可计算出CE=|$\frac{5}{4}$x|，然后利用对称的性质和平行线的性质证明PE=CE，所以|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|=|$\frac{5}{4}$x|，即-x²+$\frac{19}{4}$x+2=±$\frac{5}{4}$x，再分别解方程求出x得到P点坐标，当点E与C重合，易得P点坐标为（0，5）．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5；
（2）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵x=$\frac{9}{2}$时，y=-x²+4x+5=$\frac{11}{4}$，
∴P（$\frac{9}{2}$，$\frac{11}{4}$），
如图1，点A与点B关于直线x=2对称，连结PA交直线x=2于点G，此时PG+GB最小，
设直线PA的解析式为y=kx+n，
把P（$\frac{9}{2}$，$\frac{11}{4}$），A（-1，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+n=\frac{11}{4}}\\{-k+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵当x=2时，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点G的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）；
（3）如图2，设P（x，-x²+4x+5），则E（x，-$\frac{3}{4}$x+3），
∴PE=|-x²+4x+5-（-$\frac{3}{4}$x+3）|=|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|，
当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，则C（0，3），
∴CE=$\sqrt{{x}^{2}+（-\frac{3}{4}x+3-3）^{2}}$=|$\frac{5}{4}$x|，
∵E′是点E关于直线PC的对称点，
∴PE=PE′，∠EPC=∠E′PC，CE′=CE，
∵PE∥CE′，
∴∠E′CP=∠EPC，
∴∠E′CP=∠E′PC，
∴E′C=E′P，
∴PE=CE，
∴|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|=|$\frac{5}{4}$x|，即-x²+$\frac{19}{4}$x+2=±$\frac{5}{4}$x，
当-x²+$\frac{19}{4}$x+2=$\frac{5}{4}$x，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=4，此时P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$），（4，5）；
当-x²+$\frac{19}{4}$x+2=-$\frac{5}{4}$x，解得x₁=3-$\sqrt{11}$，x₂=3+$\sqrt{11}$（舍去），此时P点坐标为（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3），
当点E与C重合，E关于PC的对称点E'与E重合，此时点P在y轴上，其坐标为（0，5），
综上所述，符合条件的点P为（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$），（4，5），（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3），（0，5）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和对称的性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会解决最短路径问题；熟练一元二次方程的解法．