题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ 
x2+bx+c与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），与y轴交与点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；
（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，当△PMN为等腰三角形时，求此时EM的长．
【答案】
（1）
解：∵a=﹣ 
，抛物线与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），
∴可以假设抛物线解析式为y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ 
x+6，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+6
（2）
解：∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ （x﹣3）2+8，
∴顶点D坐标（3，8），
∵AD=DB=10，
∴∠DAB=∠DBA，
∵PQ∥BD，
∴∠PQA=∠DBA，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴PA=PQ，
∴△PAQ为等腰三角形，
作PH⊥AQ于H，则AH=HQ= 
（如图1中），
∴tan∠DAB= 
= 
，
∴PH= 
m，
∴S=S△ADQ﹣S△APQ= 
m8﹣ m m=﹣ 
m2+4m=﹣ （m﹣6）2+12，
∴当m=6时，S最大值=12
（3）
解：∵E（ 
，0），F（6，6），
∴直线EF解析式为y= x﹣2，直线AD解析式为y= x+4，
∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如图2中）
∵AE= 
，sin∠DAB= 
，
∴LE= × = 
=PM，
①PM=PN= 时，
∴xP=3﹣ =﹣ 
，yP=﹣ × +4= 
，
∴P（﹣ ， ），
∴直线PM解析式为y=﹣ 
x+ 
，
由 
，解得 
，
∴点M（ 
， 
）
∴EM= 
= 
．
②NP=NM时，设直线EF与对称轴交于点K，K（3，2），
此时点N在PM的垂直平分线上，DN=NK，
∴N（3，5），P（ ，5），
∴直线PM的解析式为y=﹣ x+ 
，
由 
解得 
，
∴M（ 
， 
），
∴EM= 
= 
，
③PM=MN时，cos∠MPN= = 
，
∴PN= 
，由此可得P（﹣ 
， 
），
∴直线PM解析式为y=﹣ x﹣ 
，
由 
解得 
，
∴M（ 
，﹣ 
），
∴EM= 
= 
．
综上所述，EM= 或 或 ．
【解析】（1）可以假设抛物线解析式为y=﹣ （x+3）（x﹣9），展开化简即可．（2）作PH⊥AQ于H，则AH=HQ= （如图1中），根据S=S△ADQ﹣S△APQ构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．（3）分三种情形讨论①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分别求出直线PM的解析式，利用方程组求出点M坐标即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．
