Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）

初步探究

（1）写出点B的坐标 ；

（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．

深入探究

（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论；

拓展应用

（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．

Answer 1

【答案】(1)(，1)；(2)证明见解析；(3)点P在过点B且垂直于AB的直线上； (4)点C的坐标为：(2，0)或(-，0)或(-2，0)或C(-2，0).

【解析】

(1)如图1中，作BH⊥OA于H，利用等边三角形的性质，解直角三角形求出BH、OH即可得答案；

(2)由等边三角形的性质可得AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，继而可得∠CAO=∠PAB，利用SAS即可得证；

(3)由△AOC≌△ABP，可得∠ABP=∠AOC=90°，继而可得 点P在过点B且垂直于AB的直线上；

(4)分4种情况，①点C在x轴正半轴上，点P在第一象限时，BP=OB；②点C在x轴负半轴，点P在x轴正半轴时，OP=BP；③点C在x轴负半轴，点P在第四象限时，BP=OB；④点C在x轴负半轴，点P在y轴负半轴，针对四种情况分别画出图形并求解即可得.

(1)如图1中，作BH ⊥OA于H，

∵A(0，2)，

∴OA=2，

∵△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=2，∠BOH=60°，

在Rt△OBH中，OH=AH=1，BH==，

∴B(，1)；

(2)如图2，

∵△AOB与△ACP都是等边三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

即∠CAO=∠PAB，

∴△AOC≌△ABP(SAS)；

(3)如图2中，∵△AOC≌△ABP，

∴∠ABP=∠AOC=90°，

∴PB⊥AB，

∴点P在过点B且垂直于AB的直线上；

(4)①如图3，当点C在x轴正半轴上，点P在第一象限时，BP=OB=2，

∵∠ABP=90°，

∴AP==2，

∴AC=AP=2，

∴OC=，

∴C(2，0)；

②如图4，当点C在x轴负半轴，点P在x轴正半轴时，OP=BP，此时AP垂直平分OB，

∴∠OAP=30°，

∴AP=PC=2OP，

∵AO2+OP2=AP2，即22+OP2=4OP2，

∴OP=，

∴OC=，

∴C(-，0)；

③如图5，当点C在x轴负半轴，点P在第四象限时，BP=OB=2，

∵∠ABP=90°，

∴AP==2，

∴AC=AP=2，

∴OC=，

∴C(-2，0)；

④如图6，当点C在x轴负半轴，点P在y轴负半轴时，OP=OB=2，

此时AP=2OP=4，∴AC=AP=4，

∵∠AOC=90°，OA=2，

∴OC=，

∴C(-2，0)；

综上，点C的坐标为：(2，0)或(-，0)或(-2，0)或C(-2，0).