Question

．如图2－114所示，在边长为8cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S₁，AE，EB，BA围成的图形面积为S₂(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．

(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S₁=S₂；

(2)①若y是S₁与S₂的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y的最大值．

Answer 1

解：(1)以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD的边长为8，∴AC=16．∵AE＝x，过点B作BO⊥AC于O，如图2－116所示，则BO＝8，∴S₂＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S₁=x(16－2x)．当S₁＝S₂，即x(16－2x)=4x时，解得x₁=0(舍去)，x₂＝6．∴当x＝6时，S₁＝S₂． 

(2)①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x²＋20x．当8≤x≤16时，如图2－117所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S₁＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x²＋52x－256．(2)解法1：②当0≤x＜8时，y＝－2x²＋20x＝－2(x²－10x＋25)＋50=－2(x－5)²＋50，∴当x＝5时，y的最大值为50．当8≤x≤16时，y＝－2x²＋52x－256=－2(x－13)²＋82，∴当x＝13时，y的最大值为82．综上可得，y的最大值为82．解法2：②y＝－2x²＋20x(0≤x＜8)，当x＝－＝5时，y_最大值＝＝50．y=－2x²＋52x－256(8≤x≤16)，当x=－＝13时，y_最大值=＝82．综上可得，y的最大值为82．