Question

在一次数学活动中，爱动脑筋的小华同学设计了一个几何模型：将一个面积为1的正方形按照图示进行分割．研究发现，图中蕴含着一个美妙的数量关系．
（1）请计算

1

3

+

1

32

+

1

33

+

1

34

+

1

35

的值；
（2）观察几何模型的结构特征，请猜想

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

的计算结果（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）通分后即可计算；
（2）利用图形的对称性可以得到答案．

解答：解：（1）原式=

81

243

+

27

243

+

9

243

+

3

243

+

1

243

=

121

243

；

（2）由图形的对称性可知：2（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）+

1

3n

=1，
所以原式=

1

2

（1-

1

3n

）．

点评：本题考查了图形的变化类问题，解决此类题目的关键是弄懂图形的意思，并从图形中找到变化的规律．