Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是-3，点B的横坐标是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线PC的解析式；
（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数：

2

≈1.41，

3

≈1.73，

5

≈2.24）

Answer 1

分析：（1）由已知可得A（-3，0）、B（1，0），代入抛物线解析式，可求m，n值；（2）由已知的二次函数解析式可求P，C两点坐标，从而可求直线PC的解析式；（3）关键是求点A到直线PC的距离，再与圆的半径2.5进行比较；为此，过点A作AE⊥PC，垂足为E，由△COD∽△AED，求出两个三角形中相关线段长，利用相似比求AE；

解答：解：（1）由已知条件可知：抛物线y=

1

2

x²+mx+n经过A（-3，0）、B（1，0）两点．
∴

0= 9 2 -3m+n 0= 1 2 +m+n

，
解得m=1，n=-

3

2

．

（2）∵y=

1

2

x²+x-

3

2

，
∴P（-1，-2），C(0，-

3

2

)．
设直线PC的解析式是y=kx+b，则

-2=-k+b b=- 3 2

，
解得k=

1

2

，b=-

3

2

，
∴直线PC的解析式是y=

1

2

x-

3

2

．

（3）如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．
设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为（3，0）．
在Rt△OCD中，
∵OC=

3

2

，OD=3，
∴CD=

( 3 2 )2+32

=

3

2

5

．
∵OA=3，OD=3，
∴AD=6．
∵∠COD=∠AED=90°，∠CDO公用，
∴△COD∽△AED．
∴

OC

AE

=

CD

AD

，即

3 2

AE

=

3 2 5

6

．
∴AE=

6 5

5

≈2.688＞2.5
∴以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．

点评：本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线上特殊点的运用，及直线与圆的位置关系的判定．