Question

【题目】有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质小明根据学习函数的经验，对这两个函数当时的图象性质进行了探究设函数与图象的交点为A、下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，若已知A的坐标为，则B点的坐标为______．

（2）若A的坐标为，P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．

①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点求证：．

证明过程如下：设，直线PA的解析式为．

则

解得

所以，直线PA的解析式为______．

请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当P点坐标为时，判断的形状，并用k表示出的面积．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①，，；②直角三角形，或.

【解析】

（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；

（2）①设P（m，），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；

②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．

解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，

点的坐标为，

点的坐标为．

故答案为：．

（2）①证明过程如下，

设，直线PA的解析式为．

则，

解得：，

直线PA的解析式为．

当时，，

点的坐标为．

过点P作轴于H，如图1所示，

点坐标为，

点的坐标为，

．

同理可得：，

．

，

．

故答案为：，，；

②由（2）①可知，在中，，

为等腰三角形，且．

当P点坐标为时，，

，

，，

，即，

为直角三角形．

当时，如图1，

，

，

，

；

当时，

，

，

，

．