Question

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c若∠C＝90°，如图(1)，根据勾股定理，则a²＋b²＝c²，若△ABC不是直角三角形，如图(2)和图(3)，请你类比勾股定理，试猜想a²＋b²与c²的关系，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：若△ABC为锐角三角形，有a2＋b2＞c2． 　　若△ABC为钝角三角形，(且∠C为钝角)，有a2＋b2＜c2． 　　(1)△ABC为锐角三角形，作AD⊥BC于D． 　　设CD＝x，BD＝a－x． 　　由勾股定理，b2－x2＝c2－(a－x)2， 　　即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2， 　　∴a2＋b2＝c2＋2ax＞x2即a2＋b2＞c2． 　　(2)△ABC为钝角三角形，作BD⊥AC交AC延长线于D． 　　设CD＝x，则BD2＝a2－x2． 　　由勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2， 　　即a2＋b2＋2bx＝c2， 　　∴a2＋b2＜x2． 　　分析：通过作一边上的高将三角形转化为直角三角形，再利用勾股定理进而求得．