Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF．

（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）直线AF是⊙O的切线，见解析；（2）AE＝16.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质可得∠CAF＝∠EAC，再根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线；

（2）等腰三角形ACE中，两腰AC=CE=10，且已知底角正切值，过点C作CM⊥AE，底边长AE可以求出来．

解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

又∵CF＝CD，

∴根据全等三角形的判定（HL）可知△ADC与△AFC是全等三角形，

∴根据全等三角形的性质可得∠CAF＝∠EAC，

∵AC＝CE，

∴∠E＝∠EAC，

∵∠B＝∠E，

∴∠B＝∠FAC，

∵∠B+∠BAC＝90°，

∴∠FAC+∠BAC＝90°，

∴OA⊥AF，

又∵点A在⊙O上，

∴直线AF是⊙O的切线；

（2）过点C作CM⊥AE，

∵tan∠CAE＝，

∴，

∵AC＝10，

∴设CM＝3x，则AM＝4x，

在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2，

∴（3x）2+（4x）2＝100，

解得x＝2，

∴AM＝8，

∵AC＝CE，

∴AE＝2AM＝2×8＝16．