Question

19．如图所示，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°．
（1）试说明：△ABE∽△DCA；
（2）试说明：BC²=BE•CD；
（3）若BE=4，CD=9，求等边三角形的边长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，∠DAE=120°可知∠EAB+∠CAD=60°，再由三角形外角的性质可知∠EAB+∠E=∠ABC=60°，故∠CAD=∠E，再由∠ABC=60°，∠ACB=60°可知，∠ABE=∠ACD=120°，故可得出△ABE∽△DCA；
（2）由（1）中△ABE∽△DCA可知$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{AC}$，即AB•AC=BE•CD，故可得出结论；
（3）由（2）的结论代入数据即可求出结果．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，
∴∠EAB+∠CAD=60°，
∵∠ABC是△ABE的外角，
∴∠EAB+∠E=∠ABC=60°，
∴∠CAD=∠E，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠ACD=120°，
∴△ABE∽△DCA；

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{AC}$，即AB•AC=BE•CD，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=BE•CD；

（3）由（2）得BC²=BE•CD，
∵BE=4，CD=9，
∴BC²=BE•CD=36，
∴BC=6，
∴等边三角形ABC的边长是6．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据题意判断出△ABD∽△ECA是解答此题的关键．