题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC= $数学公式$ ，直线y= $数学公式$ 经过点C，交y轴于G
（1）点C、D的坐标分别是C、D；
（2）求顶点在直线y= $数学公式$ 上且经过C、D的抛物线的解析式．

解：（1）∵BC= $\text{[math]}$ ，
∴点C的纵坐标为2 $\text{[math]}$ ，
又∵直线y= $\text{[math]}$ 经过点C，
所以可得点C的横坐标为4，
即点C的坐标为：（4，2 $\text{[math]}$ ），
∵CD平行x轴，AB=3，
∴点D的坐标为（1，2 $\text{[math]}$ ）．

（2）∵点C坐标为（4，2 $\text{[math]}$ ），点D坐标为（1，2 $\text{[math]}$ ），
故可得抛物线的对称轴为x= $\text{[math]}$ ，
又∵抛物线的顶点在直线y= $\text{[math]}$ 上，
故可得抛物线的顶点为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
设抛物线的解析式为：y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
因为抛物线经过点D（1，2 $\text{[math]}$ ），所以2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ，
解得：a= $\text{[math]}$ ，
故可得抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；
（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为x= $\text{[math]}$ ，再由抛物线的顶点在直线y= $\text{[math]}$ 上，可得出顶点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案．
点评：此题属于二次函数的综合题，难点在第二问，关键是根据抛物线的对称性得出对称轴的，然后求出顶点坐标，要求我们熟练待定系数法求二次函数关系式，难度较大．