Question

如图，在一张三角形的纸片ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，AB=10．将△ABC纸片折叠后使其中的两个顶点能够互相重合，请画出与说明折痕的各种可能的位置，并求出每条折痕的长．

Answer 1

解：折痕可能位置为△ABC的中位线DE、DF及AB边的垂直平分线DG，如图，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10，
∴BC=5，AC=5，
当点A与点C重合，折痕为△ABC的中位线DE，
∴DE=BC=；
当点B与点C重合，折痕为△ABC的中位线DF，
∴DF=AC=；
当点A与点B重合，折痕为AB的垂直平分线DG，
∵DG垂直平分AB，
∴AD=AB=5，∠GDA=90°，
∴AD=DG，
∴DG==．
分析：先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=5，AC=5；然后讨论：当点A与点C重合，折痕为△ABC的中位线DE；当点B与点C重合，折痕为△ABC的中位线DF；当点A与点B重合，折痕为AB的垂直平分线DG，再分别利用三角形的中位线性质和含30度的直角三角形三边的关系即可求出三条折痕的长．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了画几何图的能力、三角形中位线的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．