Question

如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；

（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵A（4，0），B（0，4），

∴，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4；

（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

∴EF=2，DF=4，

∵点D与点A重合，

∴D（4，0），

∴F（2，2），

∴G（3，），

∵反比例函数y=经过点G，

∴k=3，

∴反比例函数的解析式为：y=；

（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：

∵点F在直线AB上，

∴设F（t，﹣t+4），

又∵ED=2，

∴D（t+2，﹣t+2），

∵点G为边FD的中点．

∴G（t+1，﹣t+3），

若过点G的反比例函数的图象也经过点F，

设解析式为y=，

则，

整理得：（﹣t+3）（t+1）=（﹣t+4）t，

解得：t=，

∴m=，

∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=．