Question

【题目】如图，在等腰直角中， ，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且，交于点．则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形面积的2倍；③；④．其中正确的结论有_______________________________（填序号）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

根据全等三角形的判定方法可判断结论①错误，由全等三角形的性质可以判断而正确，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断③正确，利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理判断④正确．

解：结论①错误．理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，

在△AOC与△BOCE中，

，

∴△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，

∴∠AOD=∠COE．

在△AOD与△COE中，

，

∴△AOD≌△COE（ASA）．

同理可证：△COD≌△BOE，故①错误；

∵△AOD≌△COE，

∴S△AOD=S△COE，

∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，

即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，故②正确；

∵△AOD≌△COE，

∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，故③正确；

∵△AOD≌△COE，

∴AD=CE；

∵△COD≌△BOE，

∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，

∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，

∴OD=OE，

又∵OD⊥OE，

∴△DOE为等腰直角三角形，

∴DE2=2OE2，∠DEO=45°，

∴AD2+BE2=2OE2．

∵S△DOE=,

∴OE2=2S△DOE，

∴AD2+BE2=4 S△DOE，故④正确．

综上所述，正确的结论是②③④．

故答案为：②③④．