Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、.抛物线的解析式为.

（1）如图一，若抛物线经过，两点，直接写出点的坐标 ；抛物线的对称轴为直线 ；

（2）如图二：若抛物线经过、两点，

①求抛物线的表达式.

②若点为线段上一动点，过点作交于点，过点作于点交抛物线于点.当线段最长时，求点的坐标；

（3）若，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（4,8）；x=6；（2）①；②（6,4）；（3）或

【解析】

（1）根据矩形的性质即可求出点A的坐标，然后根据抛物线的对称性，即可求出抛物线的对称轴；

（2）①将A、C两点的坐标代入解析式中，即可求出抛物线的表达式；

②先利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后设点E的坐标为，根据坐标特征求出点G的坐标，即可求出EG的长，利用二次函数求最值即可；

（3）画出图象可知：当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D点上方时，抛物线与矩形没有公共点，将x=4和x=8分别代入解析式中，列出不等式，即可求出b的取值范围．

解：（1）∵矩形的三个顶点、、

∴点A的横坐标与点B的横坐标相同，点A的纵坐标与点D的纵坐标相同

∴点A的坐标为：（4,8）

∵点A与点D的纵坐标相同，且A、D都在抛物线上

∴点A和点D关于抛物线的对称轴对称

∴抛物线的对称轴为：直线．

故答案为：（4,8）；x=6；

（2）①将A、C两点的坐标代入，得

解得：

故抛物线的表达式为；

②设直线AC的解析式为y=kx＋c

将A、C两点的坐标代入，得

解得：

∴直线AC的解析式为

设点E的坐标为，

∵EG⊥AD，AD∥x轴

∴点E和点G的横坐标相等

∵点G在抛物线上

∴点G的坐标为

∴EG=

=

=

∵

∴当时，EG有最大值，且最大值为2，

将代入E点坐标，可得，点E坐标为（6,4）．

（3）当时，抛物线的解析式为

如下图所示，当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D点上方时，抛物线与矩形没有公共点，

故或

解得：或．