Question

如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD=120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC=BC；②AC=OC；③OC=BC；④AB=BD中，能使命题成立的有________（只要填序号即可）．

Answer 1

①②③④
分析：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，分析每种情况后，能得到经过半径的外端且垂直于半径的直线就是圆的切线．
解答：解：连接圆心和B点，OC=OB
①∵AC=BC，
∴∠BCO=∠CBO=2∠A，
∵∠ABC=∠BDC，
∴∠ABO=90°，
∴①正确；
②证明：过A做圆的切线AB'切圆于B'，
连接OB'，
所以OB'⊥AB'，又CA=CO 所以B'C是直角△OB'A斜边上的中线，
∴B'C=OC=CA=OB'，所以∠OCB'=60°，又B'C=CA，所以∠CB'A=30°，
所以∠AB'D=∠CB'A+∠DB'C=120°，
已知在圆上能使∠AB'D=120°的点只有一个，所以B'点就是B点
故AB是圆的切线；
∵AC=OC，
∴AC=OB，
∴∠ABO=90°，
故②正确；
③∵OC=BC，
∴△OBC=60°，
∵∠BCO=∠CBO=2∠A，
∴∠ABO=90°，
∴③正确；
④∵AB=BD，
∴∠A=∠D=∠OBD，
∵∠CBD=90°
∴∠ABO=90°，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
点评：本题考查了切线的判定，解题的关键是正确的证明经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．