如图.在△ABC中.AB＝AC＝10 cm.BC＝12 cm.点D是BC边的中点．点P从点B出发.以acm/s的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发.沿DB匀速向点B运动.其中一个动点到达端点时.另一个动点也随之停止运动.设它们运动的时间为ts． (1)若a＝2.△BPQ∽△BDA.求t的值, (2)设点M在AC上.四边形PQCM为平行四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

①若a＝，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　[解答]解：(1)△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，D是BC的中点，

　　∴BD＝CD＝12BC＝6 cm，

　　∵a＝2，

　　∴BP＝2tcm，DQ＝tcm，

　　∴BQ＝BD－QD＝6－t(cm)，

　　∵△BPQ∽△BDA，

　　∴BPBD＝BQAB，

　　即2t6＝6－t10，

　　解得：t＝1813；

　　(2)①过点P作PE⊥BC于E，

　　∵四边形PQCM为平行四边形，

　　∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ＝CM，

　　∴PB：AB＝CM：AC，

　　∵AB＝AC，

　　∴PB＝CM，

　　∴PB＝PQ，

　　∴BE＝12BQ＝12(6－t)cm，

　　∵a＝52，

　　∴PB＝52tcm，

　　∵AD⊥BC，

　　∴PE∥AD，

　　∴PB：AB＝BE：BD，

　　即52t10＝12(6－t)6，

　　解得：t＝32，

　　∴PQ＝PB＝52t＝154(cm)；

　　②不存在．理由如下：

　　∵四边形PQCM为平行四边形，

　　∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ＝CM，

　　∴PB：AB＝CM：AC，

　　∵AB＝AC，∴PB＝CM，∴PB＝PQ．

　　若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ＝∠PCM，

　　∵PM∥CQ，

　　∴∠PCQ＝∠CPM，

　　∴∠CPM＝∠PCM，

　　∴PM＝CM，

　　∴四边形PQCM是菱形，

　　∴PQ＝CQ，

　　∴PB＝CQ，

　　∵PB＝atcm，CQ＝BD＋QD＝6＋t(cm)，

　　∴PM＝CQ＝6＋t(cm)，AP＝AB－PB＝10－at(cm)，

　　即at＝6＋t①，

　　∵PM∥CQ，

　　∴PM：BC＝AP：AB，

　　∴6＋t12＝10－at10，

　　化简得：6at＋5t＝30②，

　　把①代入②得，t＝－611，

　　∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．

　　[专题]几何综合题．

　　[分析](1)由△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a＝2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；

　　(2)①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB＝PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程52t10＝12(6－t)6，解此方程即可求得答案；

　　②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB＝CQ，PM：BC＝AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．

　　[点评]此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．

提示：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．

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