Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，-1），
∴m=-1，
∴直线l的解析式为y=x-1，
∵直线l：y=x-1经过点C（4，n），
∴n=×4-1=2，
∵抛物线y=x²+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，-1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-1；

（2）令y=0，则x-1=0，
解得x=，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB===，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，
∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t，t²-t-1），E（t，t-1），
∴DE=（t-1）-（t²-t-1）=-t²+2t，
∴p=×（-t²+2t）=-t²+t，
∵p=-（t-2）²+，且-＜0，
∴当t=2时，p有最大值；

（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，设点A₁的横坐标为x，
①如图1，点O₁、B₁在抛物线上时，点O₁的横坐标为x，点B₁的横坐标为x+1，
∴x²-x-1=（x+1）²-（x+1）-1，
解得x=，
②如图2，点A₁、B₁在抛物线上时，点B₁的横坐标为x+1，点A₁的纵坐标比点B₁的纵坐标大，
∴x²-x-1=（x+1）²-（x+1）-1+，
解得x=-．
综上所述，点A₁的横坐标为或-．
分析：（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OC的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据逆时针旋转角为90°可得A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，然后分①点O₁、B₁在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A₁、B₁在抛物线上时，表示出点B₁的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A₁O₁的长度列出方程求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，注意要分情况讨论．