Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；

⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取何值时，存在最大值，并求出最大值.

Answer 1

（1）x，D点（2）①y＝x²，②.当2＜x＜3时，y=;
当3≤x≤6时，y= (3) 当x＝时，y_最大＝

解析试题分析：⑴根据题意等边△EFG，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，设E点移动距离为x（x＞0）.那么EF=2x-x=x,所以△EFG的边长是x；当x＝2时，EF=2，等边△EFG，则过G点做EF上的高交EF于M点，这高GM也是EF的中线，则BM=BE+EM=2+1=3，在△EFG中，由三角函数定义得GM=；在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°，过D做BC边上高，交BC于N点，四边形ABND是矩形，AD=BN，则AB="DN=" ，所以G与D点重合
⑵①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x²； 
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x²－（3x－6）²＝. 
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）²＝  
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x²在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y_最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y_最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y_最大＝. 
综上所述：当x＝时，y_最大＝.

考点：直角梯形，等边三角形，二次函数，三角函数
点评：本题考查直角梯形，等边三角形，二次函数，三角函数，解答本题需要清楚直角梯形的常规辅助线做法，及性质，等边三角形的性质，怎么能二次函数的关系式和其最值，掌握三角函数的定义，会运用三角函数来求直角三角形的边