题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的负半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax²- $数学公式$ x+c与x轴相交于A、F两点（A在F的右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是上述抛物线上一动点，若由点D、O、E、P构成四边形为梯形，则这样的点P有几个？试求出其中两个点P的坐标；
（3）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长．

解：（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵∠ODB=30°，
∴OD=OB•cot30°=2 $\text{[math]}$ ，
∵E为BD中点，
∴点E的坐标为（- $\text{[math]}$ ，1），
∵抛物线y=ax²- $\text{[math]}$ x+c经过B（0，2）、E（- $\text{[math]}$ ，1），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2；

（2）∵点B（0，2），D（-2 $\text{[math]}$ ，0），
∴直线BD的解析式为y= $\text{[math]}$ x+2，
∵点E（- $\text{[math]}$ ，1），
∴直线OE的解析式为y=- $\text{[math]}$ x，
①EP∥OD时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为1，
∵点P在抛物线上，
∴- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2=1，
解得x₁=- $\text{[math]}$ （为点E，舍去），x₂= $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，1），
②DP∥OE时，设直线DP的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+m，
则- $\text{[math]}$ ×（-2 $\text{[math]}$ ）+m=0，
解得m=-2，
所以，直线DP的解析式为y=- $\text{[math]}$ x-2，
联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以，点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
③OP∥DE时，直线OP的解析式为y= $\text{[math]}$ x，
联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴点P有5个，为P₁（ $\text{[math]}$ ，1），P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₄（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₅（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）令y=0，则- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2=0，
整理得，3x²+ $\text{[math]}$ x+12=0，

解得x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
∴A点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
过点E作EG⊥OD于G，∵点E（- $\text{[math]}$ ，1），
∴OG= $\text{[math]}$ ，EG=1，
∴AG= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△AEG中，AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
过点O作OK⊥AE于K，
则sin∠EAG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得OK= $\text{[math]}$ ，
cos∠EAG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得AK= $\text{[math]}$ ，
∵△OMN是等边三角形，
∴KM=OK•cot60°= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AM=AK+KM= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
或AM=AK-KM= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）解直角三角形求出OD的长度，再根据点E是BD的中点求出点E的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD、OE的解析式，然后分①EP∥OD时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，代入抛物线计算即可求出点P的横坐标，②DP∥OE时，根据平行直线的解析式的k值相等求出DP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；③OP∥DE时，先求出直线OP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；
（3）令y=0，利用抛物线解析式求出点A的坐标，过点E作EG⊥OD于G，求出AG、EG，再利用勾股定理列式计算即可求出AE的长；过点O作OK⊥AE于K，利用∠EAG的正弦值列式求出OK，余弦值列式求出AK，再根据等边三角形的性质求出KM的长度，然后分点M在点K的左边与右边两种情况解答．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式与一次函数解析式），联立两函数解析式求交点坐标，等边三角形的性质，解直角三角形，题目难度较大，且运算量较大，需要分情况讨论是最大的难点．