Question

如图，二次函数y=a x²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B，与y轴交于点C，A、C的坐标分别是（1，0）和（0，2），B在A的右侧，且∠OCA=∠OBC．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）求这个二次函数的解析式及顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用两个角相等的三角形相似，直接进行判定即可；
（2）利用（1）的结论求得点B坐标，代入三点坐标即可求出函数解析式，再据函数解析式求得顶点坐标．

解答：（1）证明：∵∠OCA=∠OBC，
∠COA=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB；

（2）解：∵△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

1

2

=

2

OB

，
解得OB=4，
即点B的坐标为（4，0），
把点A、B、C三点代入函数解析式得，

c=2 4a+2b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2 c=2

，
所以函数解析式为：y=

1

2

x2-

5

2

x+2，
因此顶点坐标为：（

5

2

，-

9

8

）．

点评：此题考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式以及求顶点坐标的方法．