Question

16．已知△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，过点C作直线l∥AB，点D在线段BC上，点E在直线l上，若∠ADE=120°，CE=1，则DC的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．首先证明DM=DN，再证明△ADM≌△EDN，推出AM=EN，DM=DN，设CD=x，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．

∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB∥EN，
∴∠B=∠BCN=30°，
∴∠ACB=∠BCN，
∵DM⊥AC，DN⊥CN，
∴DM=DN，∠CDN=∠CDM=60°，
∴∠ADE=∠MDN=120°，
∴∠ADM=∠EDN，
在△ADM和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠END=90°}\\{∠ADM=∠EDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EDN，
∴AM=EN，DM=DN，设CD=x，则DM=DN=$\frac{1}{2}$x，CN=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵EN=AM，
∴4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+1，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．