Question

【题目】（1）如图1，在中，，，将绕顶点逆时针旋转时，当时，设与于，证明：是等边三角形；

（2）如图1，在中，，，将绕顶点逆时针旋转多少度时，，使得的顶点落在上？

（3）当直角三角形变为一般三角形时，如图2，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可以得到，试证明：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）由，得∠CBA=60°，根据旋转的性质可得∠AED=∠ACB=30°，而，所以∠ACB=∠CAE =30°，再根据三角形内角和定理即可解答；

(2) 先计算∠B=60°，根据旋转性质得AB=AD，可知△ABD是等边三角形，则旋转角∠BAD的度数可求．

（3）连接，延长到，使，连接，利用旋转的性质得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质证明，即可解答.

如图1，∵在△ABC中，，，
∴∠CBA=60°（直角三角形的两个锐角互余）．
∵，
∴∠ACB=∠CAE，
又由旋转的性质知，∠AED=∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠CAE =30°，

∴∠PAD=∠EAD-CAE =90°-30°=60°，
∴∠ADP=60°，
∴在△CDB中，∠ADP =∠PAD =60°，

∴∠APD=180°-60°-60°=60°，
∴△ADP是等边三角形；

（2）∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠B=60°．
根据旋转的性质可知AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
旋转角∠BAD=60°．
故答案为60°．

（3）证明：连接，延长到，使，连接，

由旋转可知：∴，，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，∴

在和中，∵，，

∴，

在和中

∴，

∴，

∴.