Question

△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，∠C=120°，且2b=a+c，求2cot

B

2

-cot

A

2

的值．

Answer 1

分析：作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，求出AD、BE、CF，根据锐角三角函数求出r，代入求出即可．

解答：解：作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，
c-AD+n-AD=a，
∴AD=

b+c-a

2

，
同理：BE=

c+a-b

2

，CE=

a+b-c

2

，
在Rt△OCE中，cot60°=

CE

r

=

3

3

，
得r=

3 (a+b-c)

2

，
所以2cot

B

2

-cot

A

2

=

2BE

r

-

AD

r

=

3

3

．
答：2cot

B

2

-cot

A

2

的值是

3

3

．

点评：本题主要考查对解直角三角形，三角形的内切圆与内心，切线长定理等知识点的理解和掌握，能求出AD、BE、CE的长和r的长是解此题的关键．