Question

如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于

30

7

．

Answer 1

分析：首先设点O是△APQ的外接圆的圆心，连接OP，OQ，作OH⊥PQ于点H，过点A作AD⊥BC于点D，由垂径定理与圆周角定理易得PQ=2OA•sin∠BAC，然后由当AD是直径时，即OA=

1

2

AD时，PQ最小，则可求得AD的长与sin∠BAC的值，则可求得答案．

解答：解：如图，设点O是△APQ的外接圆的圆心，连接OP，OQ，作OH⊥PQ于点H，过点A作AD⊥BC于点D，
∴PH=QH=

1

2

PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POH=

1

2

∠POQ，
∵∠POQ=2∠BAC，
∴∠POH=∠BAC，
在Rt△POH中，PH=OP•sin∠POH=OA•sin∠BAC，
∴PQ=2OA•sin∠BAC，
即当OA最小时，PQ最小，
∵当AD是直径时，即OA=

1

2

AD时，PQ最小，
设BD=x，则CD=8-x，
∵在Rt△ABD中，AD²=AB²-AD²，
在Rt△ACD中，AD²=AC²-CD²，
∴25-x²=49-（8-x）²，
解得：x=

5

2

，
∴AD=

AB2-BD2

=

5 3

2

，
∴OA=

5 3

4

，
设AC边上的高为h，
则AC•h=BC•AD，
∴h=

BC•AD

AC

=

20 3

7

，
∴sin∠BAC=

h

AB

=

4 3

7

，
∴PQ=2OA•sin∠BAC=2×

5 3

4

×

4 3

7

=

30

7

．
故答案为：

30

7

．

点评：此题考查了切线的性质、三角形外接圆的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．