Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内依次作等边三角形△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…，点A1，A2，A3，…，在x轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，在射线OM上，若∠B1OA1＝30°，OA1＝1，则点B2019坐标是_________　．

Answer 1

【答案】（3×22017，×22017）

【解析】

由题意根据点的坐标规律，利用等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数值即可求解．

解：根据题意得：等边三角形△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…，

∵∠B1OA1＝30°，OA1＝1，

∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝∠A2B1A1＝60°，

∴∠OB1A1＝30°，

∴∠OB1A2＝90°，

∴A1A2＝A2B1＝A1B1＝OA1＝1，

所以B1 的横坐标为1+＝，纵坐标为×tan30°＝×＝；

同理可得：B2 的横坐标为2+1＝3，纵坐标为3×＝；

B3 的横坐标为4+2＝22+21，

B4 的横坐标为8+4＝23+22，

B5 的横坐标为16+8＝24+23，

…

Bn 的横坐标为2n﹣1+2n﹣2＝2n﹣2（2+1）＝3×2n﹣2，

纵坐标为3×2n﹣2×tan30°＝×2n﹣2．

所以B2019的坐标为（3×22017，×22017）.