Question

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．

（1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求PD的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）相切；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OA，先根据圆周角定理求得∠AOC的度数，再根据圆的基本性质求得∠ACP、∠CAO的度数，即可求得∠AOP的度数，再结合AP＝AC可求得∠P的度数，即可作出判断；

（2）连接AD，由CD是⊙O的直径可得∠CAD＝90°，再根据30°角的正切函数可求得AD的长，由∠ADC＝∠B＝60°，可求得∠PAD的度数，从而可以求得结果．

（1）连接OA

∵∠B＝60°，

∴∠AOC＝2∠B＝120°，

又∵OA＝OC，

∴∠ACP＝∠CAO＝30°，

∴∠AOP＝60°，

∵AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP＝30°，

∴∠OAP＝90°，

∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切线；

（2）连接AD

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CAD＝90°，

∴AD＝AC?tan30°＝3×＝，

∵∠ADC＝∠B＝60°，

∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，

∴∠P＝∠PAD，

∴PD＝AD＝．

考点：圆的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．