Question

如图，在正方形ABCD内，作等边三角形BCE，连接AE、DE，并延长DE交AB于F
求证：（1）△ABE≌△DCE；
（2）△AEF是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可得AB=DC，由等边三角形的性质可得BE=CE，再证明∠ABE=∠DCE即可证明△ABE≌△DCE；
（2）若证明△AEF是等腰三角形则可转化为证明∠EAF=∠AFE即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵△BEC是等边三角形，
∴BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠DCE=30°，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠ABE=∠DCE BE=CE

，
∴△ABE≌△DCE；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠DAE+∠EAF=90°，∠ADE+∠AFE=90°，
∴∠EAF=∠AFE，
∴AE=FE，
∴△AEF是等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性很好，难度不大．