Question

【题目】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．

（1）求证：AF为⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；

（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）NE＝

【解析】

（1）欲证明AF为⊙O的切线，只需推知CA⊥AF；

（2）如图2，连接OD．理由圆周角定理和等量代换推知：∠DOA＝∠DOC，则DA＝DC．

（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．构造全等三角形：△ODE≌△OCM，则OE＝OM，设OM＝m，所以AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m；由△EAN∽△DPE的对应边成比例推知：＝，所以＝，求出m＝，得到AN＝，AE＝，结合勾股定理得NE＝．

（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠DCA＝90°．

∵，

∴∠ABD＝∠DCA，

∵∠FAD＝∠ABD，

∴∠FAD＝∠DCA，

∴∠FAD+∠DCA＝90°，

∴CA⊥AF，

∴AF为⊙O的切线．

（2）证明：如图2，连接OD，

∵，

∴∠ABD＝∠AOD，

∵，

∴∠DBC＝∠DOC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∴∠DOA＝∠DOC，

∴DA＝DC．

（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°．

∵DA＝DC，

∴DO⊥AC，

∴∠FAC＝∠DOC＝90°，

∴AF∥OM，

∵AO＝OC，

∴OM＝AF．

∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．

∴∠ODE＝∠OCM．

∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，

∴∴△ODE≌△OCM，

∴OE＝OM，

设OM＝m，

∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，

∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，

∴∠AEN＝∠ADE，

∵∠EAN＝∠DPE，

∴△EAN∽△DPE，

∴＝，

∴＝，

∴m＝，

∴AN＝，AE＝，

∴勾股定理得NE＝．