Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=. 动点O在AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结CD.

小题1:如图1，当直线CD与⊙O相切时，请你判断线段CD与AD的数量关系，并证明你的结论；
小题2:如图2，当∠ACD=15°时，求AD的长

Answer 1

小题1:CD=AD       ……1分
证明：如图1，连结OD．

∵直线CD与⊙O相切．∴∠COD＝90°，……2分
又∵OD＝OA，   ∴ ∠A=∠ADO＝30°．
∴ ∠COD=60°．∴ ∠ACD=30°．  ……3分
∴CD=AD，…………4分
小题2:如图2，过点C作CF⊥AB于点F．

∵∠A＝30°，BC=，∴AB=．   ……5分
∵∠ACD＝15°，∴∠BCD＝75°，∠BDC＝45°．……6分
在Rt△BCF中，可求BF=，CF=．    
在Rt△CDF中，可求DF＝．       ……7分
∴AD＝AB－BF-FD＝－－＝ (－3)．……8分

（1）直线CD与⊙O相切，连接OD，可得∠CDO=90°，则CD=BD．
（2）过点C作CF⊥AB于点F，根据已知条件，可求出在三角形ABC中，AB=4．又∠BDC=45°，所以△DCF为等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法进行求解