Question

【题目】如图，是的直径，弦于点，交于点，连结、、，若．

求证：直线为的切线；

若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；

（2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．

（1）连接OC．

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC．

又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF．

∵CO=BO，∴∠OCF=∠B．

∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；

（2）连接AC．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB．

又∵∠D=∠B，∴△OCD∽△ACB．

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得：DC=．