题目内容
设抛物线y=ax2+bx+c与X轴交于两不同的点A（-1，0），B（m，0），（点A在点B的左边），与y轴的交点为点C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和该抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E为过A点的直线y=x+1与该抛物线的另一交点．在X轴上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，矩形FGHQ的一边FG在线段AB上，顶点H、Q分别在线段AC、BC上，若设F点坐标为（t，0），矩形FGHQ的面积为S，当S取最大值时，连接FH并延长至点M，使HM=k•FH，若点M不在该抛物线上，求k的取值范围．
（1）求m的值和该抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E为过A点的直线y=x+1与该抛物线的另一交点．在X轴上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，矩形FGHQ的一边FG在线段AB上，顶点H、Q分别在线段AC、BC上，若设F点坐标为（t，0），矩形FGHQ的面积为S，当S取最大值时，连接FH并延长至点M，使HM=k•FH，若点M不在该抛物线上，求k的取值范围．
（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC2，
∴OB=
=
=4，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-2，
得
，
∴抛物线的解析式为y=
x2-
x-2．
（2）D（1，n）代入y=
x2-
x-2，得n=-3，
可得
（不合题意舍去），
，
∴E（6，7）．
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△EAB，则
=
，
∴BP1=
=
=
，
∴OP1=4-
=
，
∴P1（
，0）．
②若△DBP2∽△BAE，则
=
，
∴BP2=
=
=
，
∴OP2=
-4=
，
∴P2（-
，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P1（
，0）或P2（-
，0）．
（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：设HG=x，则
=
解得：HQ=-
x+5
∴矩形的面积S=HG•HQ=-
x2+5x
当x=-
=1时，面积取得最大值．则H，R，Q的纵坐标是-1．
则HQ=-
×1+5=
设直线AC的解析式是y=kx+b
根据题意得：
，解得：
则AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
则H的坐标是（-
，-1）．F的坐标是（2，0）．则HF=
．
设直线FH的解析式是y=kx+b
根据题意得：
解得：
，
则直线FH的解析式是y=
x-
．
解方程组：
，
解得：x=
．
当直线与抛物线相交时，k=
=
=
或
=
．
则k的范围是：k＞0且k≠
且k≠
．
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC2，
∴OB=
| OC2 |
| OA |
| 22 |
| 1 |
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-2，
得
|
∴抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）D（1，n）代入y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
可得
|
|
∴E（6，7）．
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△EAB，则
| BP1 |
| AB |
| BD |
| AE |
∴BP1=
| AE•BD |
| AB |
5×3
| ||
7
|
| 15 |
| 7 |
∴OP1=4-
| 15 |
| 7 |
| 13 |
| 7 |
∴P1（
| 13 |
| 7 |
②若△DBP2∽△BAE，则
| BP2 |
| AE |
| BD |
| AB |
∴BP2=
| AE•BD |
| AB |
7
| ||||
| 5 |
| 42 |
| 5 |
∴OP2=
| 42 |
| 5 |
| 22 |
| 5 |
∴P2（-
| 22 |
| 5 |
综合①、②，得点P的坐标为：P1（
| 13 |
| 7 |
| 22 |
| 5 |
（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：设HG=x，则
| HQ |
| 5 |
| 2-x |
| 2 |
解得：HQ=-
| 5 |
| 2 |
∴矩形的面积S=HG•HQ=-
| 5 |
| 2 |
当x=-
| 5 | ||
2×(-
|
则HQ=-
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
设直线AC的解析式是y=kx+b
根据题意得：
|
|
则AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
则H的坐标是（-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设直线FH的解析式是y=kx+b
根据题意得：
|
解得：
|
则直线FH的解析式是y=
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
解方程组：
|
解得：x=
19±
| ||
| 10 |
当直线与抛物线相交时，k=
| HM |
| FH |
-
| ||||||
|
| ||
| 25 |
| ||||||
|
| ||
| 25 |
则k的范围是：k＞0且k≠
| ||
| 25 |
| ||
| 25 |
练习册系列答案
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接OA，OB，OA⊥OB．
，0），顶点为P．
