Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（6，0）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）联结 AB，过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切，先补全图形，再判断直线与⊙的位置关系并加以证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间.问：当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积.

 

Answer 1

（1）解：∵抛物线的顶点为（4,1），

∴设抛物线解析式为.

∵抛物线经过点（6，0），∴.∴.

∴.

所以抛物线的解析式为

 (2) 补全图形、判断直线BD与⊙相离.

证明：令=0，则，.  ∴点坐标（2，0）.

又∵抛物线交轴于点，∴A点坐标为（0，-3），∴.

设⊙与对称轴l相切于点F，则⊙的半径CF=2，

作⊥BD于点E，则∠BEC=∠AOB=90°.

∵，∴.

又∵，∴.

∴∽，∴.

∴，∴.

∴直线BD与⊙相离

(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.

∵A（0，-3），（6，0）.

∴直线解析式为.

设点坐标为（，），

则点的坐标为（，）.

  ∴PQ=-()=.

   ∵,

   ∴当时，的面积最大为.

∵当时，=

  ∴点坐标为（3，）. 

综上：点的位置是（3，），的最大面积是