题目内容

（2012•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O与坐标原点重合，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，且OB=8，AB=6，∠B=90°．点P从原点出发，以每秒5个单位的速度沿线段OB向点B运动，到达B点运动停止．过点P且平行于x轴的直线交线段AB于点Q，以PQ为边向下作正方形PMNQ．设正方形PMNQ与△OAB重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点P的运动时间t（秒）．
（1）求点A的坐标．
（2）求S与t之间的函数关系式．
（3）求（2）中S有最大值时的t值．
（4）点P运动过程中，在x轴上存在点C，使得△PCQ为等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点C的坐标．
分析：（1）根据OB=8，AB=6，∠B=90°，再根据勾股定理求出OA的长，从而求出点A的坐标；
（2））根据PQ∥OA，得出
BP
BO
=
BQ
BA
，求出BQ=
24-15t
4
，再根据∠B=∠PDO，∠BPQ=∠POD，证出△OPD≌△PQB，得出
OP
PQ
=
PD
BQ
，即可求出S与t之间的函数关系式；
（3）根据二次函数最大值的求法计算即可；
（4）根据PQ∥OA，得出PD=CD=CE=QE，根据△OPD∽△OAB，得出
OP
OA
=
OD
OB
=
PD
AB
，进一步得出QE=PD=CD=CE=3t，再根据△AQE∽△AOB，得出
AE
AB
=
QE
OB
，AE=
9
4
t，4t+3t+3t+
9
4
t=10，求出t的值即可．
解答：解：（1）∵OB=8，AB=6，∠B=90°，
∴OA=
OB2+AB2
=
82+62
=10，
∴点A的坐标是（10，0）

（2）∵PQ∥OA，
∴
BP
BO
=
BQ
BA
，
∴
8-5t
8
=
BQ
6
，
∴BQ=
24-15t
4
，
在△OPD和△PQB中，
∵∠B=∠PDO，∠BPQ=∠POD，
∴△OPD≌△PQB，
∴
OP
PQ
=
PD
BQ
，
∴S=PD•PQ=OP•BQ=5t•
24-15t
4
=30t-
75
4
t2；

（3）S有最大值时，t=-
30
2×(-
75
4
)
=
4
5
；
（4）∵PQ∥OA，
∴∠PCD=∠CPQ=45°，∠QCE=∠PQC=45°，
∴PD=CD，QE=CE，
∵PD=QE，
∴PD=CD=CE=QE，
∵△OPD∽△OAB，
∴
OP
OA
=
OD
OB
=
PD
AB
，
∴
5t
10
=
OD
8
=
PD
6
，
∴OD=4t，PD=3t，
∴QE=PD=CD=CE=3t，
∵△AQE∽△AOB，
∴
AE
AB
=
QE
OB
，
∴
AE
6
=
3t
8
，
∴AE=
9
4
t，
∴OA=OD+CD+CE+AE=4t+3t+3t+
9
4
t=10，
49
4
t=10，
t=
40
49
．
点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，关键是综合运用相关知识列出方程和算式．
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（1）求tan∠AOC；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）求（2）中的S的最大值；
（4）连接AC，AC的中点为M，请直接写出在正方形PQRS变化过程中，t为何值时，△PMS为等腰三角形．

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