Question

已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为

 

；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为

 

；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：中点四边形,三角形的面积

专题：

分析：如图，连接AC、BD．通过相似三角形的判定与性质可以求得图中空白部分的面积，则根据图形易求阴影部分的面积．

解答：解：如图1，连接AC、BD．
∵点A₁、D₁是边AB、AD的中点，
∴A₁D₁是△ABD的中位线，
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
∴△AA₁D₁∽△ABD，
∴

S△AA1D1

S△ABD

=(

A1D1

BD

)2=

1

4

，
∴S△AA1D1=

1

4

S_△ABD．
同理，S △CB1C1=

1

4

S_△BCD，S△BA1B1=

1

4

S_△ABC，S△DD1C1=

1

4

S_△ACD，
∴S_阴影=S_{四边形ABCD}-（S△AA1D1+S △CB1C1+S△BA1B1+S△DD1C1）=1-

1

4

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

4

S_{四边形ABCD}=

1

2

S_{四边形ABCD}．
如图2，同理可得S_阴影=1-

1

9

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

9

S_{四边形ABCD}=

7

9

S_{四边形ABCD}．
当取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则
S_阴影=1-

1

9

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

n2

S_{四边形ABCD}=1-

2

n2

S．
故答案是：

1

2

，

7

9

，1-

2

n2

．

点评：本题考查了中点四边形，三角形的面积．利用三角形中位线定理求得空白部分的三角形的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系是解题的难点．