Question

【题目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）当（0≤t≤1）时，PM=____________ ，QN=___________(用t的代数式表示)；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）PM=t ，QN= （3－t）；（2）t= s；（3）s或s

【解析】

（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm，得AB=4cm，在Rt△APM中和Rt△BNQ中利用正切即可求得PM和QN的值；

（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值；

（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值.

（1）△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm，

∴AB=4cm，

经过t秒，AM=t，

在Rt△APM中，∠A=60°，

∴PM=AMtan60°=t,

BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t，

∴QN= BNtan30°=（3－t），

故答案为：t；（3－t），

（2）∵AC=2，

∴AB=4，

∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t，

∴QN=BNtan30°=（3﹣t），

由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即t=（3﹣t），

∴t=，

∴当t=s时，四边形MNQP为矩形；

（3）由（2）知，当t= s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时 =tan30°=，

∵=cos60°=，

∴AP=2AM=2t，

∴CP=2﹣2t，

∵=cos30°=，

∴BQ= (3﹣t），

又∵BC=2，

∴CQ=2，

∴

，

∴当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.