Question

如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y＝x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

(3) 动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.

Answer 1

1)解：连接AE.

   由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，

   在Rt△AOE中，由勾股定理得，

   OA＝＝＝4.

  ∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB＝OA＝4.

OC＝OE＋CE＝3＋5＝8.

   ∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0).

   ∵抛物线的顶点为点C，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x－8)².

将点B的坐标代入上解析式，得

64 a＝－4.  故 a＝－.

∴ y＝－(x－8)².

∴ y＝－x ²＋x－4 为所求抛物线的解析式.

(2) 在直线l的解析式y＝x＋4中，令y＝0，得＝x＋4＝0，解得 x＝－，

∴点D的坐标为(－，0)；

当x＝0时，y＝4，所以点A在直线l上.

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵ ＝，＝，∴  ＝.

∵ ∠AOE＝∠DOA＝90°，∴ △AOE∽△DOA. ∴ ∠AEO＝∠DAO.

∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴ ∠DAO＋∠EAO＝90°. 即 ∠DAE＝90°.

因此，直线l与⊙E相切于点A.  

(3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M.

 设M(m，m＋4)，P(m，－m ²＋m－4). 则

PM＝m＋4－(－m ²＋m－4)＝m ²－m＋8＝(m－2)²＋.

当m＝2时，PM取得最小值.

此时，P(2，－).

对于△PQM，∵ PM⊥x轴，∴ ∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°，

∴ △PQM的三个内角固定不变.

∴ 在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变.

∴ 当PM取得最小值时，PQ也取得最小值.

PQ_最小＝PM_最小·sin∠QMP＝PM_最小·sin∠AEO＝×＝.

所以，当抛物线上的动点P的坐标为 (2，－)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为